Qué es un oscilador armónico: diagrama de bloques y sus tipos

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El movimiento armónico simple fue inventado por el matemático francés Barón Jean Baptiste Joseph Fourier en 1822. Edwin Armstrong (18 de diciembre de 1890 al 1 de febrero de 1954) observó oscilaciones en 1992 en sus experimentos y Alexander Meissner (14 de septiembre de 1883 al 3 de enero de 1958) inventó osciladores en marzo de 1993. El término armónico es una palabra latina. Este artículo analiza una descripción general del oscilador armónico que incluye su definición, tipo y sus aplicaciones.

¿Qué es el oscilador armónico?

El oscilador armónico se define como un movimiento en el que la fuerza es directamente proporcional a la partícula desde el punto de equilibrio y produce una salida en una forma de onda sinusoidal. La fuerza que causa armónicos movimiento se puede expresar matemáticamente como




F = -Kx

Dónde,



F = fuerza de restauración

K = constante de resorte


X = Distancia al equilibrio

diagrama de bloques de oscilador armónico

diagrama de bloques de oscilador armónico

Hay un punto en el movimiento armónico en el que el sistema oscila, y la fuerza que trae la masa una y otra vez al mismo punto desde donde comienza, la fuerza se llama fuerza restauradora y el punto se llama punto de equilibrio o posición media. Este oscilador también se conoce como oscilador armónico lineal . La energía fluye de activa componentes a componentes pasivos en el oscilador.

Diagrama de bloques

los diagrama de bloques del oscilador armónico consiste en un amplificador y una red de comentarios. El amplificador se utiliza para amplificar las señales y las señales amplificadas pasan a través de una red de retroalimentación y generan la salida. Donde Vi es el voltaje de entrada, Vo es el voltaje de salida y Vf es el voltaje de retroalimentación.

Ejemplo

Misa en primavera: El resorte proporciona una fuerza de restauración que acelera la masa y la fuerza de restauración se expresa como

F = ma

Donde 'm' es la masa y a es una aceleración.

masa en un resorte

masa en un resorte

El resorte consta de una masa (m) y una fuerza (F). Cuando la fuerza tira de la masa en un punto x = 0 y depende solo de la posición x de la masa y la constante del resorte está representada por una letra k.

Tipos de oscilador armónico

Los tipos de este oscilador incluyen principalmente los siguientes.

Oscilador armónico forzado

Cuando aplicamos una fuerza externa al movimiento del sistema, se dice que el movimiento es un oscilador armónico forzado.

Oscilador armónico amortiguado

Este oscilador se define como, cuando aplicamos una fuerza externa al sistema, entonces el movimiento del oscilador se reduce y se dice que su movimiento es un movimiento armónico amortiguado. Hay tres tipos de osciladores armónicos amortiguados que son

formas de onda de amortiguación

formas de onda de amortiguación

Sobre amortiguado

Cuando el sistema se mueve lentamente hacia el punto de equilibrio, se dice que es un oscilador armónico sobreamortiguado.

Bajo amortiguación

Cuando el sistema se mueve rápidamente hacia el punto de equilibrio, se dice que es un oscilador armónico sobreamortiguado.

Amortiguación crítica

Cuando el sistema se mueve lo más rápido posible sin oscilar alrededor del punto de equilibrio, se dice que es un oscilador armónico sobreamortiguado.

Cuántico

Lo inventaron Max Born, Werner Heisenberg y Wolfgang Pauli en la “Universidad de Göttingen”. La palabra cuántica es la palabra latina y el significado de cuántica es una pequeña cantidad de energía.

Energía de punto cero

La energía de punto cero también se conoce como energía de estado fundamental. Se define cuando la energía del estado fundamental es siempre mayor que cero y este concepto fue descubierto por Max Planck en Alemania y la fórmula desarrollada en 1990.

Energía promedio de la ecuación del oscilador armónico simple amortiguado

Hay dos tipos de energías: la energía cinética y la energía potencial. La suma de la energía cinética y la energía potencial es igual a la energía total.

E = K + U ………………. Ecuación (1)

Donde E = Energía total

K = energía cinética

U = Energía potencial

Donde k = k = 1/2 mv2………… eq (2)

U = 1/2 kx2………… eq (3)

ciclo-de-oscilación-para-valores-promedio

ciclo-de-oscilación-para-valores-promedio

Los valores promedio de energía cinética y potencial por ciclo de oscilación es igual a

Dónde v2= v2(A2-x2) ……. eq (4)

Sustituya la ecuación (4) en la ecuación (2) y la ecuación (3) obtendrá

k = 1/2 m [w2(A2-x2)]

= 1/2 m [Aw cos (wt + ø0)]2……. eq (5)

U = 1/2 kx2

= 1/2 k [A pecado (wt + ø0)]2……. eq (6)

Sustituya la ecuación (5) y la ecuación (6) en la ecuación (1) obtendrá el valor de energía total

E = 1/2 m [w2(A2-x2)] + 1/2 kx2

= 1/2 m de ancho2-1/2 m w2A2+ 1/2 kilo2

= 1/2 m de ancho2A2+1/2 x2(K-mw2) ……. eq (7)

Dónde mw2= K , sustituya este valor en la ecuación (7)

E = 1/2 K A2- 1/2 Kx2+ 1/2 x2= 1/2 K A2

Energía total (E) = 1/2 K A2

Las energías promedio para un período de tiempo se expresan como

Apromedio= Upromedio= 1/2 (1/2 K A2)

Función de onda del oscilador armónico

El operador hamiltoniano se expresa como una suma de energía cinética y energía potencial y se expresa como

ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)

Donde ђ = operador hamitoniano

T = energía cinética

V = Energía potencial

Para generar la función de onda, tenemos que conocer la ecuación de Schrodinger y la ecuación se expresa como

-DJ2/ 2μ * d2ѱ(Q) / dQ2+ 1 / 2KQ2ѱ(Q) = E­ѱ(Q) …………. eq (2)

Donde Q = Longitud de la coordenada normal

Μ = Masa efectiva

K = Constante de fuerza

Las condiciones de contorno de la ecuación de Schrodinger son:

Ѱ (-∞) = ø

Ѱ (+ ∞) = 0

También podemos escribir la ecuación (2) como

D2ѱ(Q) / dQ2+ 2μ / đ2(E­-K / 2 * Q2) ѱ(Q) = 0 ………… eq (3)

Los parámetros utilizados para resolver una ecuación son

β = ђ / √μk ……… .. eq (4)

D2/dQ2= 1 / β2D2/ dx2………… .. eq (5)

Sustituya la ecuación (4) y la ecuación (5) en la ecuación (3), entonces la ecuación diferencial para este oscilador se convierte en

D2ѱ(Q) / dx2+ (2μb2/ đ2– x2) ѱ(x) = 0 ……… .. eq (6)

La expresión general para series de potencias es

ΣC¬nx2 …………. eq (7)

Una función exponencial se expresa como

exp (-x2/ 2) ………… eq (8)

eq (7) se multiplica por eq (8)

ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)

Los polinomios de Hermite se obtienen usando la siguiente ecuación

ђ­­­­(x) = (-1)* exp (x2) d / dx* exp (-x2) …………… .. eq (10)

La constante de normalización se expresa como

norte= (1/2υ! √Π)1/2…………… .eq (11)

los solución de oscilador armónico simple se expresa como

Ѱ(x) = NH(y)e-x2 / 2……………… eq (12)

Donde Nυ­es la constante de normalización

H ­­­es el hermita

es -x2 / 2es el gaussiano

Una ecuación (12) es la función de onda del oscilador armónico.

Esta tabla muestra los polinomios de Hermite del primer término para los estados de menor energía

0 1 2

3

H(y)

1 2 años 4 años2-2

8 años3-12 años

Las funciones de onda del gráfico de oscilador armónico simple para los cuatro estados de menor energía se muestran en las figuras siguientes.

funciones de onda del oscilador armónico

funciones-de-onda-del-oscilador-armónico

Las densidades de probabilidad de este oscilador para los cuatro estados de energía más bajos se muestran en las figuras siguientes.

probabilidad -densidades-de-formas de onda

probabilidad-densidades-de-formas de onda

Aplicaciones

La sImplementar oscilador armónicolas aplicaciones incluyen principalmente las siguientes

  • Sistemas de audio y video
  • Radio y otros dispositivos de comunicación.
  • Inversores , Alarmas
  • Zumbadores
  • Luces decorativas

Ventajas

los ventajas del oscilador armónico son

  • Barato
  • Generación de alta frecuencia
  • Alta eficiencia
  • Barato
  • Portátil
  • Económico

Ejemplos

El ejemplo de este oscilador incluye lo siguiente.

  • Instrumentos musicales
  • Péndulo simple
  • Sistema de resorte de masa
  • Columpio
  • El movimiento de las manecillas del reloj
  • El movimiento de las ruedas de automóviles, camiones, autobuses, etc.

Es un tipo de movimiento que podemos observar a diario. Armónico oscilador Se derivan la función de onda utilizando Schrodinger y las ecuaciones del oscilador armónico. Aquí hay una pregunta, ¿qué tipo de movimiento realiza el puenting?