El movimiento armónico simple fue inventado por el matemático francés Barón Jean Baptiste Joseph Fourier en 1822. Edwin Armstrong (18 de diciembre de 1890 al 1 de febrero de 1954) observó oscilaciones en 1992 en sus experimentos y Alexander Meissner (14 de septiembre de 1883 al 3 de enero de 1958) inventó osciladores en marzo de 1993. El término armónico es una palabra latina. Este artículo analiza una descripción general del oscilador armónico que incluye su definición, tipo y sus aplicaciones.
¿Qué es el oscilador armónico?
El oscilador armónico se define como un movimiento en el que la fuerza es directamente proporcional a la partícula desde el punto de equilibrio y produce una salida en una forma de onda sinusoidal. La fuerza que causa armónicos movimiento se puede expresar matemáticamente como
F = -Kx
Dónde,
F = fuerza de restauración
K = constante de resorte
X = Distancia al equilibrio
diagrama de bloques de oscilador armónico
Hay un punto en el movimiento armónico en el que el sistema oscila, y la fuerza que trae la masa una y otra vez al mismo punto desde donde comienza, la fuerza se llama fuerza restauradora y el punto se llama punto de equilibrio o posición media. Este oscilador también se conoce como oscilador armónico lineal . La energía fluye de activa componentes a componentes pasivos en el oscilador.
Diagrama de bloques
los diagrama de bloques del oscilador armónico consiste en un amplificador y una red de comentarios. El amplificador se utiliza para amplificar las señales y las señales amplificadas pasan a través de una red de retroalimentación y generan la salida. Donde Vi es el voltaje de entrada, Vo es el voltaje de salida y Vf es el voltaje de retroalimentación.
Ejemplo
Misa en primavera: El resorte proporciona una fuerza de restauración que acelera la masa y la fuerza de restauración se expresa como
F = ma
Donde 'm' es la masa y a es una aceleración.
masa en un resorte
El resorte consta de una masa (m) y una fuerza (F). Cuando la fuerza tira de la masa en un punto x = 0 y depende solo de la posición x de la masa y la constante del resorte está representada por una letra k.
Tipos de oscilador armónico
Los tipos de este oscilador incluyen principalmente los siguientes.
Oscilador armónico forzado
Cuando aplicamos una fuerza externa al movimiento del sistema, se dice que el movimiento es un oscilador armónico forzado.
Oscilador armónico amortiguado
Este oscilador se define como, cuando aplicamos una fuerza externa al sistema, entonces el movimiento del oscilador se reduce y se dice que su movimiento es un movimiento armónico amortiguado. Hay tres tipos de osciladores armónicos amortiguados que son
formas de onda de amortiguación
Sobre amortiguado
Cuando el sistema se mueve lentamente hacia el punto de equilibrio, se dice que es un oscilador armónico sobreamortiguado.
Bajo amortiguación
Cuando el sistema se mueve rápidamente hacia el punto de equilibrio, se dice que es un oscilador armónico sobreamortiguado.
Amortiguación crítica
Cuando el sistema se mueve lo más rápido posible sin oscilar alrededor del punto de equilibrio, se dice que es un oscilador armónico sobreamortiguado.
Cuántico
Lo inventaron Max Born, Werner Heisenberg y Wolfgang Pauli en la “Universidad de Göttingen”. La palabra cuántica es la palabra latina y el significado de cuántica es una pequeña cantidad de energía.
Energía de punto cero
La energía de punto cero también se conoce como energía de estado fundamental. Se define cuando la energía del estado fundamental es siempre mayor que cero y este concepto fue descubierto por Max Planck en Alemania y la fórmula desarrollada en 1990.
Energía promedio de la ecuación del oscilador armónico simple amortiguado
Hay dos tipos de energías: la energía cinética y la energía potencial. La suma de la energía cinética y la energía potencial es igual a la energía total.
E = K + U ………………. Ecuación (1)
Donde E = Energía total
K = energía cinética
U = Energía potencial
Donde k = k = 1/2 mv2………… eq (2)
U = 1/2 kx2………… eq (3)
ciclo-de-oscilación-para-valores-promedio
Los valores promedio de energía cinética y potencial por ciclo de oscilación es igual a
Dónde v2= v2(A2-x2) ……. eq (4)
Sustituya la ecuación (4) en la ecuación (2) y la ecuación (3) obtendrá
k = 1/2 m [w2(A2-x2)]
= 1/2 m [Aw cos (wt + ø0)]2……. eq (5)
U = 1/2 kx2
= 1/2 k [A pecado (wt + ø0)]2……. eq (6)
Sustituya la ecuación (5) y la ecuación (6) en la ecuación (1) obtendrá el valor de energía total
E = 1/2 m [w2(A2-x2)] + 1/2 kx2
= 1/2 m de ancho2-1/2 m w2A2+ 1/2 kilo2
= 1/2 m de ancho2A2+1/2 x2(K-mw2) ……. eq (7)
Dónde mw2= K , sustituya este valor en la ecuación (7)
E = 1/2 K A2- 1/2 Kx2+ 1/2 x2= 1/2 K A2
Energía total (E) = 1/2 K A2
Las energías promedio para un período de tiempo se expresan como
Apromedio= Upromedio= 1/2 (1/2 K A2)
Función de onda del oscilador armónico
El operador hamiltoniano se expresa como una suma de energía cinética y energía potencial y se expresa como
ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)
Donde ђ = operador hamitoniano
T = energía cinética
V = Energía potencial
Para generar la función de onda, tenemos que conocer la ecuación de Schrodinger y la ecuación se expresa como
-DJ2/ 2μ * d2ѱtú(Q) / dQ2+ 1 / 2KQ2ѱtú(Q) = Etúѱtú(Q) …………. eq (2)
Donde Q = Longitud de la coordenada normal
Μ = Masa efectiva
K = Constante de fuerza
Las condiciones de contorno de la ecuación de Schrodinger son:
Ѱ (-∞) = ø
Ѱ (+ ∞) = 0
También podemos escribir la ecuación (2) como
D2ѱtú(Q) / dQ2+ 2μ / đ2(Etú-K / 2 * Q2) ѱtú(Q) = 0 ………… eq (3)
Los parámetros utilizados para resolver una ecuación son
β = ђ / √μk ……… .. eq (4)
D2/dQ2= 1 / β2D2/ dx2………… .. eq (5)
Sustituya la ecuación (4) y la ecuación (5) en la ecuación (3), entonces la ecuación diferencial para este oscilador se convierte en
D2ѱtú(Q) / dx2+ (2μb2Etú/ đ2– x2) ѱtú(x) = 0 ……… .. eq (6)
La expresión general para series de potencias es
ΣC¬nx2 …………. eq (7)
Una función exponencial se expresa como
exp (-x2/ 2) ………… eq (8)
eq (7) se multiplica por eq (8)
ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)
Los polinomios de Hermite se obtienen usando la siguiente ecuación
ђtú(x) = (-1)tú* exp (x2) d / dxtú* exp (-x2) …………… .. eq (10)
La constante de normalización se expresa como
nortetú= (1/2túυ! √Π)1/2…………… .eq (11)
los solución de oscilador armónico simple se expresa como
Ѱtú(x) = NtúHtú(y)e-x2 / 2……………… eq (12)
Donde Nυes la constante de normalización
H tú es el hermita
es -x2 / 2es el gaussiano
Una ecuación (12) es la función de onda del oscilador armónico.
Esta tabla muestra los polinomios de Hermite del primer término para los estados de menor energía
tú | 0 | 1 | 2 | 3 |
Htú(y) | 1 | 2 años | 4 años2-2 | 8 años3-12 años |
Las funciones de onda del gráfico de oscilador armónico simple para los cuatro estados de menor energía se muestran en las figuras siguientes.
funciones-de-onda-del-oscilador-armónico
Las densidades de probabilidad de este oscilador para los cuatro estados de energía más bajos se muestran en las figuras siguientes.
probabilidad-densidades-de-formas de onda
Aplicaciones
La sImplementar oscilador armónicolas aplicaciones incluyen principalmente las siguientes
- Sistemas de audio y video
- Radio y otros dispositivos de comunicación.
- Inversores , Alarmas
- Zumbadores
- Luces decorativas
Ventajas
los ventajas del oscilador armónico son
- Barato
- Generación de alta frecuencia
- Alta eficiencia
- Barato
- Portátil
- Económico
Ejemplos
El ejemplo de este oscilador incluye lo siguiente.
- Instrumentos musicales
- Péndulo simple
- Sistema de resorte de masa
- Columpio
- El movimiento de las manecillas del reloj
- El movimiento de las ruedas de automóviles, camiones, autobuses, etc.
Es un tipo de movimiento que podemos observar a diario. Armónico oscilador Se derivan la función de onda utilizando Schrodinger y las ecuaciones del oscilador armónico. Aquí hay una pregunta, ¿qué tipo de movimiento realiza el puenting?