Las matemáticas juegan un papel decisivo para comprender el comportamiento y funcionamiento de eléctrico y sistemas electronicos . Polinomios, Álgebra, Probabilidad, Integraciones y Diferenciaciones, etc… forman una parte importante de las herramientas utilizadas para resolver los sistemas. Con la creciente complejidad de los sistemas, se requieren métodos muy sofisticados. Las ecuaciones diferenciales se utilizan de forma destacada para definir sistemas de control. Estas ecuaciones son sencillas de resolver. Pero la complejidad surge al resolver ecuaciones diferenciales de orden superior. Para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior tan complejas, el método matemático que demostró ser efectivo es Transformada de Laplace . Como esta transformación se emplea ampliamente, es útil saber qué significan realmente y cómo funcionan.

¿Qué es una transformada de Laplace?

En matemáticas, las transformaciones se aplican para transformar una variable de una forma a otra para facilitar el manejo de la ecuación. Las transformaciones de Laplace hacen prácticamente lo mismo. Transforman la ecuación diferencial de orden superior en una forma polinomial que es mucho más fácil que resolver la ecuación diferencial directamente.

Pero hay varias transformadas como la transformada de Fourier, transformadas z, ¿qué hace que la transformada de Laplace sea especial? La principal ventaja de la transformada de Laplace es que se definen tanto para sistemas estables como inestables, mientras que las transformadas de Fourier se definen solo para sistemas estables.

Fórmula de la transformada de Laplace

Una transformada de Laplace de la función f (t) en un dominio del tiempo, donde t es el número real mayor o igual a cero, se da como F (s), donde hay s es el número complejo en el dominio de frecuencia, es decir. s = σ + jω
La ecuación anterior se considera como unilateral Ecuación de la transformada de Laplace . Cuando los límites se extienden a todo el eje real, entonces el Transformada bilateral de Laplace Puede ser definido como
En circuitos prácticos como Circuitos RC y RL Por lo general, se utilizan las condiciones iniciales, por lo que se aplican transformadas de Laplace unilaterales con fines de análisis.
Como s = σ + jω, cuando σ = 0 las transformadas de Laplace se comportan como transformadas de Fourier.

“cómo restaurar la precisión de un termómetro bimetálico ”

Fórmulas de la transformada de Laplace

Condiciones de aplicabilidad de la transformada de Laplace

Las transformadas de Laplace se denominan transformadas integrales, por lo que existen condiciones necesarias para la convergencia de estas transformadas.
es decir, f debe ser localmente integrable para el intervalo [0, ∞) y dependiendo de si σ es positivo o negativo, e ^ (- σt) puede estar decayendo o creciendo. Para las transformaciones bilaterales de Laplace en lugar de un valor único, la integral converge sobre un cierto rango de valores conocido como Región de Convergencia.

Propiedades de la transformada de Laplace:

Linealidad

Cambio de hora

Cambio en dominio S

Inversión del tiempo

Diferenciación en dominio S

“regla del divisor de voltaje resistencias paralelas ”

Convolución en el tiempo

Teorema del valor inicial

El teorema del valor inicial se aplica cuando en la transformada de Laplace el grado del numerador es menor que el grado del denominador Teorema del valor final:

Si todos los polos de sF (s) se encuentran en la mitad izquierda, se aplica el teorema del valor final del plano S.

Transformada de Laplace inversa

Debido a la característica de convergencia, la transformada de Laplace también tiene una transformada inversa. Las transformadas de Laplace exhiben un mapeo uno a uno de un espacio funcional a otro. La fórmula para la transformada inversa de Laplace es

¿Cómo calcular la transformada de Laplace?

La transformada de Laplace simplifica el manejo de las ecuaciones. Cuando se da una ecuación diferencial de orden superior, se le aplica la transformada de Laplace, que convierte la ecuación en una ecuación algebraica, lo que la hace más fácil de manejar. Luego calculamos las raíces simplificando esta ecuación algebraica. Ahora se encuentra la transformada de Laplace inversa de una expresión más simple que resuelve la ecuación diferencial de orden superior dada.

Cálculo de la transformada de Laplace

Aplicaciones de la transformada de Laplace

Análisis de electricidad y circuitos electrónicos .
Dividir ecuaciones diferenciales complejas en formas polinomiales más simples.
La transformada de Laplace proporciona información sobre estados estables y transitorios.
En el aprendizaje automático, la transformada de Laplace se utiliza para realizar predicciones y realizar análisis en la minería de datos.
La transformada de Laplace simplifica los cálculos en el modelado de sistemas.

Aplicación de la transformada de Laplace en el procesamiento de señales

Las transformadas de Laplace se optan con frecuencia para el procesamiento de señales. Junto con la transformada de Fourier, la Transformada de Laplace se utiliza para estudiar señales en el dominio de la frecuencia. Cuando hay pequeñas frecuencias en la señal en el dominio de la frecuencia, se puede esperar que la señal sea suave en el dominio del tiempo. El filtrado de una señal generalmente se realiza en el dominio de la frecuencia, por lo que Laplace actúa como una herramienta importante para convertir una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

Aplicación de la transformada de Laplace en sistemas de control

Los sistemas de control generalmente están diseñados para controlar el comportamiento de otros dispositivos. Ejemplo de sistemas de control Puede ir desde un simple controlador de calefacción para el hogar hasta un sistema de control industrial que regula el comportamiento de la maquinaria.

Generalmente, los ingenieros de control usan ecuaciones diferenciales para describir el comportamiento de varios bloques funcionales de circuito cerrado. La transformada de Laplace se usa aquí para resolver estas ecuaciones sin la pérdida de información de variable crucial.

Caracterización de sistemas lineales invariantes en el tiempo utilizando la transformada de Laplace

Para un sistema casual ROC asociado con el sistema, la función es el semiplano derecho. Un sistema es anti-casual si su respuesta al impulso h (t) = 0 para t> 0.

Si la ROC de las funciones del sistema H (s) incluye el eje jω, entonces el L.T.I. el sistema se llama sistema estable. Si un sistema casual con funciones de sistema racionales H (s) tiene partes reales negativas para todos sus polos, entonces el sistema es estable.

Por tanto, la transformada de Laplace es una herramienta crucial en el análisis de circuitos. Podemos decir que como un estetoscopio es para doctor Laplace transforma son para ingeniero de control. ¿Cómo consideras las transformadas de Laplace? ¿De qué manera te resultaron útiles?