Diagrama de Nyquist: gráfico, estabilidad, problemas de ejemplo y sus aplicaciones

El gráfico de Bode y el gráfico de Nyquist son gráficos muy populares, especialmente para la espectroscopia de impedancia electroquímica o los datos EIS entre los electroquímicos. Entonces, Nyquist Plot lleva el nombre de un sueco-estadounidense llamado 'Harry Nyquist'. Es ingeniero eléctrico y desarrolló este gráfico con fines electrónicos en el año 1932. Durante un EIS, se recopila mucha información y esta información recopilada debe presentarse. Entonces, una imagen da más información que cien palabras. Entonces, se usa una representación gráfica como un diagrama de Nyquist para mostrar una espectroscopia de impedancia electroquímica. Este artículo proporciona información sobre Trama de Nyquist – funcionamiento, ventajas y sus desventajas.

Definición de diagrama de Nyquist

La representación gráfica que se usa ampliamente para las funciones de transferencia se conoce como diagrama de Nyquist. Esta es una gráfica de respuesta de frecuencia que se usa para evaluar el sistema de control con estabilidad de retroalimentación. Es un gráfico paramétrico para la parte real e imaginaria de una función de transferencia dentro del plano complejo porque el parámetro de frecuencia se extiende a lo largo de un intervalo específico. En coordenadas cartesianas, la parte real de la función de transferencia de trazado de Nyquist se traza en el eje X, mientras que la parte imaginaria de la función de transferencia se traza en el eje Y.

Nyquist Plot se utiliza en el control automático, así como en el procesamiento de señales para el análisis de estabilidad, ya que cualquiera puede verificar instantáneamente si un bucle con retroalimentación negativa cumple con el principio de estabilidad de Nyquist. Si el gráfico de Nyquist de la sistema de control de lazo abierto cubre aproximadamente el punto sobre el eje real, luego el sistema equivalente en lazo cerrado es inestable.

Gráfico de parcela de Nyquist

Los gráficos de diagramas de Nyquist son la extensión de los diagramas polares utilizados principalmente para encontrar la sistemas de control de circuito cerrado estabilidad simplemente cambiando 'ω' de −∞ a ∞. Eso significa que estas gráficas se utilizan principalmente para dibujar la respuesta de frecuencia total de la función de transferencia de bucle abierto. El diagrama de Nyquist simplemente evalúa la estabilidad del sistema de control con retroalimentación. Entonces, en un sistema de coordenadas cartesianas, el par real de la función de transferencia simplemente se traza sobre el eje X, mientras que la parte imaginaria simplemente se traza sobre el eje Y.
El diagrama de Nyquist similar se puede explicar simplemente con coordenadas polares, donde la ganancia de la función de transferencia es la coordenada radial y la fase de la función de transferencia es la coordenada angular equivalente.

La trama de Nyquist se puede entender conociendo algunas de las terminologías utilizadas. En el diagrama de Nyquist, un camino cerrado dentro de un plano complejo se conoce como contorno.

Camino de Nyquist

El camino de Nyquist o Contorno de Nyquist es un contorno cerrado dentro del plano s que encierra totalmente el lado derecho completo del plano s. Para encerrar el RHS total del avión, se dibuja un carril de semicírculo grande por un diámetro a lo largo del eje 'jω' y el centro en la fuente. El radio del semicírculo se trata simplemente como un cerco de Nyquist.

Cerco de Nyquist

Se sabe que un punto está rodeado por una línea si se encuentra en la curva.

Mapeo de Nyquist

El procedimiento por el cual un punto dentro del plano s se convierte en un punto dentro del plano F(s) se conoce como mapeo y F(s) se conoce como la función de mapeo.

El análisis de estabilidad del sistema de control de retroalimentación depende principalmente del reconocimiento de las raíces de ubicación de la ecuación característica sobre el plano s.

Por lo tanto, si la raíz en el plano s se encuentra en la cara izquierda, el sistema de control es estable. Por lo tanto, la estabilidad relativa del sistema se puede determinar a través de diferentes técnicas de respuesta de frecuencia, como la gráfica de Nyquist, la gráfica de Bode y la gráfica de Nichols.

Criterio de estabilidad de Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist se usa principalmente para reconocer la existencia de raíces para una ecuación característica en la región particular del plano S. El criterio de estabilidad de Nyquist como N = Z – P simplemente dice eso. 'N' es el número total de círculos con respecto al origen, 'P' es el número de polos y 'Z' es el número total de ceros.

En el Caso 1: Cuando N = 0 (sin cerco), entonces Z = P = 0 y Z = P.

Si N = 0, P debería ser '0' para que el sistema sea estable.

En el caso 2: cuando N es mayor que 0 (circunferencia en el sentido de las agujas del reloj), por lo tanto, P = 0, Z ≠ 0 y Z > P

En estos dos casos, el sistema es inestable.

En el caso 3: cuando N es menor que 0 (entorno en sentido contrario a las agujas del reloj), por lo tanto, Z = 0, P ≠0 y P > Z

Por lo tanto, el sistema es estable.

¿Cómo dibujar la trama de Nyquist?

Hay muchos pasos involucrados en el dibujo de la trama de Nyquist que se analizan a continuación.

• En el paso 1: necesita verificar los polos para una función de transferencia de bucle abierto como G (s) H (s) dentro del plano 's'.
• En el paso 2: elija el contorno de Nyquist correcto incluyendo todo el lado derecho del plano s simplemente dibujando un semicírculo de radio 'R' donde R tiende a infinito.
• En el paso 3: reconocer diferentes segmentos en el contorno con ubicación en la ruta de Nyquist.
• En el paso 4: el segmento de mapeo debe funcionar a través del segmento simplemente sustituyendo la ecuación del segmento respectivo en la función de mapeo. Generalmente, tenemos que dibujar las gráficas polares para el segmento en particular.
• En el paso 5: Generalmente, el mapeo de segmentos refleja imágenes de mapeo para la ruta particular del eje imaginario positivo.
• En el paso 6: el carril semicircular que cubre la mitad derecha del plano normalmente se mapea en un punto dentro del plano G(s) H(s).
• En el paso 7: Interconecte todos los diversos segmentos de mapeo para generar el diagrama de Nyquist necesario.
• En el paso 8: Anote el no. de rodeos en el sentido de las agujas del reloj sobre (-1, 0) y decidir la estabilidad a través de N = Z – P.

Una vez dibujada la gráfica de Nyquist, podemos descubrir la estabilidad del sistema de control de lazo cerrado con el criterio de estabilidad de Nyquist. Entonces, si el punto crítico (-1+j0) se encuentra en el exterior del cerco, entonces el sistema de control de lazo cerrado es completamente estable.

La función de transferencia de lazo abierto es G(S)H(S) = N(S)/D(S).

La función de transferencia de lazo cerrado es G(S)/1+ G(S)H(S).

N(s) = cero es el cero en lazo abierto y D(s) es el polo en lazo abierto.

Desde el punto de vista de la estabilidad, ningún polo en lazo cerrado debe estar en la cara derecha del plano s. La ecuación de características como 1 + G(s) H(s) igual a cero significa polos en bucle cerrado.

Cuando 1 + G(s) H(s) es igual a cero, entonces q(s) debe ser cero.

Entonces, desde el punto de vista de la estabilidad, los ceros de q(s) no deberían estar dentro del plano derecho del plano s.
Para describir la fuerza, se debe considerar todo el RHP. Entonces imaginamos un semicírculo que incluye todos los puntos dentro del RHP considerando el radio del semicírculo 'R' que tiende a infinito.

Análisis de estabilidad con diagrama de Nyquist

A partir del diagrama de Nyquist, podemos reconocer si el sistema de control es estable, inestable o marginalmente estable según los valores de los parámetros.

• Ganancia de frecuencia de cruce y frecuencia de cruce de fase.
• Margen de ganancia y margen de fase.

Frecuencia de cruce de fase.

La frecuencia en la que el gráfico de Nyquist se encuentra con el eje real negativo se denomina frecuencia de cruce de fase y se denota con ωpc.

Ganancia de frecuencia cruzada

La frecuencia en la que el gráfico de Nyquist tiene una magnitud se denomina frecuencia de cruce de ganancia y se denota con ωgc.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación principal entre las dos frecuencias, como el cruce de fase y el cruce de ganancia, se analiza a continuación.

• Si el ωpc es mayor en comparación con el ωgc, entonces el sistema de control es estable.
• Si ωpc es equivalente a ωgc, entonces el sistema de control es ligeramente estable.
• Si ωpc es menor en comparación con ωgc, entonces el sistema de control no es estable.

Margen de ganancia

El margen de ganancia es equivalente al recíproco de la magnitud del diagrama de Nyquist en la frecuencia de cruce de fase.

Margen de ganancia (GM) = 1/Mpc

Donde 'Mpc' es la magnitud dentro de la escala normal en el ωpc o frecuencia de cruce de fase

Margen de fase

El margen de fase es equivalente a la suma de 180 grados y el ángulo de fase en ωgc o frecuencia de cruce de ganancia.

PM = 1800 + ϕgc

Donde ϕgc es el ángulo de fase en la frecuencia de cruce de ganancia (ωgc).

La estabilidad del sistema de control depende de la relación principal entre los dos márgenes, como el margen de ganancia y el margen de fase que se indican a continuación.

Si el margen de ganancia es superior a uno y el margen de fase es positivo, entonces el sistema de control es estable.

Si el margen de ganancia es equivalente a uno y el margen de fase es '0' grados, entonces el sistema de control es ligeramente estable.

Si el margen de ganancia es inferior a uno y el margen de fase es negativo, el sistema de control no es estable.

Problemas de ejemplo de diagrama de Nyquist

Ej1: Si el diagrama de Nyquist corta el eje real negativo a una distancia de 0,6, ¿cuál es el margen de ganancia del sistema?

Sabemos que el margen de ganancia del sistema se puede definir como la cantidad de cambio requerida dentro de la ganancia de lazo abierto para hacer que un sistema de lazo cerrado sea inestable.

Margen de ganancia o GM = 1/|G| wpc

Donde, la ganancia del sistema es |G| y wpc es la frecuencia de cruce de fase.

La frecuencia de cruce de fase se puede definir como; la frecuencia en cuyo punto la ganancia del sistema es '0'.

g = 1/0,6 = 1,66

Ej2: La función de transferencia del sistema de bucle abierto del sistema de retroalimentación negativa de ganancia unitaria se puede dar como G(s) = 1/S(S+1). La curva de Nyquist dentro del plano S incluye todo el plano del lado derecho y una pequeña área alrededor del origen en el lado izquierdo que se muestra en el siguiente gráfico. El no. de los cercos del punto (-1+ j0) a través del diagrama G(S) de Nyquist, equivalente al contorno de Nyquist que se indica como 'N' y luego 'N' equivalente a?

El no. de los cercos para el punto significativo (-1+ j0) viene dado por N = P-Z.

Donde 'N' es el número de rodeos de este punto crítico en el sentido contrario a las agujas del reloj.

'P' es el número de polos en lazo abierto dentro del lado derecho del plano S.

'Z' es el número de polos en bucle cerrado dentro del lado derecho del plano S.

N = P para estabilidad Z = 0.

La fórmula anterior solo es válida una vez que se define la curva de Nyquist para el lado derecho del plano S y los polos se excluyen en la fuente. La rotación de la curva debe ser en el sentido de las agujas del reloj y el cerco del punto crítico está en el sentido contrario a las agujas del reloj.

G(s) = 1/S(S+1).

Los polos en lazo abierto están presentes en S = 0,-1

La función de transferencia de bucle cerrado = 1/S^2+S+1

El número del polo cerrado sobre el lado derecho es cero.

Pero el contorno de Nyquist se define para el medio lado total del plano S y también contiene el polo en el origen.

Por lo tanto, en S=0, el polo en lazo abierto se considera como el polo dentro del lado derecho del plano S.

N = P-Z =>1-0 =>1

Ventajas y desventajas

El ventajas de la trama de Nyquist Incluya lo siguiente.

• El diagrama de Nyquist es una herramienta extremadamente útil para determinar la estabilidad del sistema.
• Tiene muchas ventajas sobre Routh-Horwitz y el lugar geométrico de las raíces, ya que simplemente administra los retrasos de tiempo.
• Pero es más útil porque nos da un método para utilizar el diagrama de Bode para decidir la estabilidad.
• Al usar esto, se puede decidir la estabilidad del sistema de control.
• Una función de transferencia de lazo abierto se encuentra simplemente midiendo su respuesta de frecuencia.
• Es mejor en comparación con el lugar geométrico de las raíces en términos de retardo de tiempo, lo que significa que el diagrama de Nyquist simplemente puede administrar el retardo de tiempo dentro del sistema.
• Puede localizar la respuesta de frecuencia de la función de transferencia de bucle abierto.
• Encuentra el nro. de polos polos disponibles en la cara derecha del plano s.
• Encuentra la estabilidad relativa del sistema/

El desventajas de la trama de Nyquist Incluya lo siguiente.

• El diagrama de Nyquist utiliza algunos métodos matemáticos difíciles.
• No puede resolver la fuerza completa del sistema.
• No da información precisa sobre los polos disponibles en la cara derecha del plano s.

Aplicaciones de gráficos de Nyquist

Las aplicaciones del diagrama de Nyquist incluyen lo siguiente.

• El diagrama de Nyquist se utiliza para establecer la estabilidad del sistema a través de un proceso gráfico dentro del dominio de la frecuencia.
• Un gráfico de Nyquist o un gráfico de respuesta de frecuencia se utilizan principalmente en ingeniería de control y procesamiento de señales.
• Estas son la extensión de los diagramas polares, que se utilizan para encontrar la estabilidad del sistema de control de bucle cerrado.
• Es una herramienta extremadamente útil para determinar la estabilidad del sistema.
• Usando una gráfica de Nyquist, podemos monitorear la distancia entre los dos puntos (–1, 0) y el punto donde la curva cruza el eje real negativo.

¿Cómo se utiliza el diagrama de Nyquist para determinar la estabilidad?

La estabilidad se puede determinar usando Nyquist Plot simplemente mirando el no. de cercos del punto (−1, 0). La variedad de ganancias en las que el sistema se mantendrá estable se puede determinar observando los cruces de ejes reales. Este gráfico proporciona algunos datos sobre la forma de la función de transferencia.

¿Qué son los criterios de Nyquist para el muestreo?

Los criterios de Nyquist necesitan que la frecuencia de muestreo sea como mínimo dos veces la frecuencia máxima contenida en la señal. Si la frecuencia de muestreo es inferior al doble de la frecuencia de la señal analógica más alta, se producirá un fenómeno llamado aliasing.

¿Qué se utiliza para Nyquist Plot?

Se utiliza una función de transferencia de bucle abierto para Nyquist Plot.

¿Qué es la regla de Nyquist?

La regla de Nyquist simplemente establece que una señal periódica debe muestrearse por encima del doble del componente de frecuencia máxima de la señal. De hecho, debido a que el tiempo disponible es limitado, la tasa de muestreo es algo más alta de lo que requiere.

¿Qué es la fórmula de tasa de bits de Nyquist para Noiseless?

Nyquist simplemente establece que en un canal 'B' de ancho de banda, puede transmitir hasta 2B señales ortogonales por cada segundo, por lo tanto, Rp ≤ 2B, donde 'Rp' es la frecuencia del pulso.

¿Qué representa la trama de Nyquist?

El diagrama de Nyquist representa alguna información sobre la forma de la función de transferencia. Así por ejemplo; este gráfico da información sobre la variación entre el no. de polos y ceros de la función de transferencia a través del ángulo en el que la curva llega al origen.

Así, esto es una descripción general de la trama de Nyquist – ventajas, desventajas y sus aplicaciones. Los gráficos de Nyquist se utilizan para analizar las propiedades del sistema de control, como la estabilidad, el margen de fase y el margen de ganancia. Diagrama de Nyquist usando Matlab nos ayuda a hacer un gráfico de trama de Nyquist, relacionado con la respuesta de frecuencia generada a través de un modelo dinámico. Aquí hay una pregunta para ti, ¿qué es un diagrama de Bode?